جبر

.:: جبر ::.

جبر: (algebra)

در لغت جبر مقابل کلمه اختیار است و به معنی ناچار کردن می باشد. جبر و مقابله قسمتی از ریاضیات است که در آن برای حل مجهولات حروف و علامات را به جای اعداد به کار می برند.

عبارت جبری: (algebra expression)

عبارتی که شامل یک یا چند جمله جبری باشد مانند :

یک جمله ای جبری: (algebra monomial)

در حالت کلی یک جمله ای بر حسب x به صورت axⁿ نوشته می شود که در آن a ضریب عددی و x متغیر حرفی و n عدد صحیح نامنفی است . مانند:

پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری:

به عبارت جبری توجه کنید. اگر در این عبارت به جای a ، عدد 5 قرار دهیم، حاصل عبارت چقدر می شود؟

حل: حاصل برابر 35 می شود، چون : 35= 5- (5) ×3+5²

عدد 35 مقدار عددی عبارت جبری بازای 5=a می باشد.

ساده کردن یک عبارت جبری:

دو تک جمله ای که قسمت حرفی آن ها عینا مثل هم باشد، متشابه نامیده می شوند. مثلا دو تک جمله 5xy و 2xy- متشابه اند. 7a^۲ و a^۲- نیز متشابه اند، ولی x^۲و xy متشابه نیستند. برای ساده کردن یک عبارت جبری، جمله های متشابه را با هم جمع یا تفریق می کنیم.

اشکال هندسی و عبارت جبری:

شکل های هندسی دارای ویژگی های زیادی هستند. مثلث را در نظر بگیرید دریایی از خصوصیت های زیبا می باشد ، ویژگی های نهفته در این شکل یکی پس از دیگری موج می زنند و به سمت ما حرکت می کنند.

دایره، چهار ضلعی ها، چند ضلعی های منتظم ، ... در این دریا غوطه ورند.

ویژگی های هر یک از شکل های هندسی را با عبارت جبری می توان بیان کرد به عنوان مثال مساحت هر یک از شکل های زیر را با یک عبارت جبری بیان می کنیم.

توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع و تفریق

خاصیت توزیع پذیری یا پخشی یکی از خاصیت های ضرب است.

مردم برای خرید و فروش و محاسبه قیمت اجناس از این خاصیت زیبا فراوان استفاده می کنند.

به مثال های زیر دقت کنید:

این خاصیت برای جملات جبری نیز برقرار است. یعنی اگر A و B و C چند جمله ای جبری باشند داریم:

A ×(B+C)= (A×B) + (A×C)F

به شکل های زیر توجه کنید. با توجه به اینکه هر دو شکل برابرند و در سمت راست مستطیل به دو قسمت تقسیم شده است، می توان نتیجه گرفت: مساحتهای این دو شکل با هم برابر است و تساوی زیر را نوشت.

این تساوی توزیع پذیری ضرب را نسبت به جمع (تفریق) نشان می دهد.

ضرب دو چند جمله ای: برای بدست آوردن حاصل این ضرب با توجه به خاصیت توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به جمع و تفریق می توان به صورت زیر عمل کرد:

با توجه به شکل می توان گفت: شکل (1) در سمت چپ و شکل (2) در سمت راست با هم برابر هستند و در شکل (2) مربع به چهار قسمت تقسیم شده است. می توان نتیجه گرفت مساحتهای این دو شکل برابر است و تساوی زیر را نوشت:

اتحاد ها: تساوی های جبری هستند که به ازای تمام مقادیر حقیقی درست می باشند. برای آسان شدن محاسبه از اتحاد ها کمک می گیرند. با کاربرد بیشتر اتحاد ها در دوره دبیرستان آشنا خواهید شد.

اتحاد اول:

اتحاد دوم:

اتحاد سوم: ( اتحاد مزدوج)

اتحاد چهارم: ( اتحاد جمله مشترک)

مثال:

تقسیم عبارتهای جبری:

برای تقسیم چند جمله ای بر یک حمله ای کافی است که تک تک جملات چند جمله ای را بر یک جمله ای تقسیم کنیم. برای محاسبه حاصل تقسیم ضرایب عدی بر هم تقسیم می شوند و قسمتهای حروفی نیز در صورت امکان با هم ساده خواهند شد.

مثال:

فاکتور گیری:

عبارت ab+ac را در نظر بگیرید. اگر این عبارت جبری را به صورت a(b+c)d بنویسیم، به طوریکه a قسمت مشترک دو عبارت را تشکیل می دهد، اصطلاحا می گوییم از a فاکتور گرفته ایم. فاکتورگیری یکی از روشهای تبدیل یک عبارت جبری به صورت حاصل ضرب می باشد.

نکته: برای بدست آوردن قسمت غیر مشترک از تقسیم کمک بگیرید.

مثال: عبارت3a^۲ت+ 6ab را به صورت ضرب دو عبارت جبری بنویسید.

حل:

نکته:

درستی یا نادرستی هر یک از نکته های بیان شده در یک کادر را ، با ذکر دلیل بیان کنید.

نتیجه: تساوی بالا درست است و توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به جمع را نشان می دهد.

نتیجه: تساوی بالا درست است و توزیع پذیری عمل ضرب نسبت به تفریق را نشان می دهد.

نتیجه: تساوی بالا نادرست می باشد.

نتیجه: این عبارت درست است؛ به یاد داشته باشید که توان از ضرب بوجود می آید.

نتیجه: تساوی بالا درست است و نشان می دهد منفی پشت پرانتز تمام عبارتهای داخل پرانتز را قرینه می کند.

نتیجه: تساوی بالا نادرست می باشد.

نتیجه: تساوی بالا درست است و نشان می دهد منفی در پشت کسر تمام عبارتهای صورت کسر را قرینه می کند.

نتیجه: عبارت بالا درست است و نشان می دهد عمل ضرب نسبت به عمل جمع در محاسبات اولویت دارد.

10-

نتیجه: این تساوی نادرست می باشد.

11-

نتیجه: این تساوی درست است و اتحاد اول نام دارد.

12-

نتیجه: این تساوی درست است و نشان می دهد که a-b و b-a قرینه همدیگر هستند.

13-

نتیجه: این عبارت نادرست می باشد.، چون اگر ◦=x باشد، یک کسر مبهم و نامشخص است.

14-

نتیجه: این عبارت درست است و می توان xها را ساده کرد. به طور کلی برای انجام عمل تقسیم مخرج کسر باید مخالف صفر باشد.

15-

نتیجه: این تساوی درست است و اتجاد مزدوج را نشان می دهد.

16-

نتیجه: این عبارت درست است و نشان می دهد اگر جمع دو عدد مثبت مساوی صفر باشد، حتما هر دوی آن ها صفر هستند.

17-

نتیجه: این تساوی نادرست می باشد.

عبارت درست به صورت زیر می باشد:

18-

نتیجه: این عبارت نادرست می باشد.

مثال: اگر 5-=x ، آنگاه :

19-

نتیجه: این عبارت نادرست می باشد.

مثال: اگر 3=x باشد ، آنگاه

20-

نتیجه: این عبارت درست می باشد و نشان می دهد اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد مثبت ضرب کنیم جهت نامساوی عوض نمی شود.

21-

نتیجه: این عبارت نادرست می باشد و نشان می دهد اگر دو طرف نامساوی را در یک عدد منفی ضرب کنیم جهت نامساوی عوض می شود.

مثال: (5)(2-) > (3)(2-) <= 2-=a و 5>3

10- > 6- <=

و این یک عبارت نادرست است. ( می دانیم 10- < 6- )

مثال 1:

با توجه به تساوی های زیر ثابت می کنیم 1=2 می باشد. اشکال کار در کجاست؟

a=b	فرض کنیم a و b دو عدد مساوی باشند.
a+a=b+a	به دو طرف تساوی بالا مقدار a را اضافه کنید.
2a=b+a	حاصل را بدست آورید.
2a-۲b=b+a-۲b	از دو طرف تساوی بالا 2b را کم کنید.
2a-۲b=a-b	حاصل را بدست آورید.
	از دو فاکتور بگیرید.
	دو طرف تساوی را بر a-b تقسیم کنید.
1=2	حاصل را بدست آورید، خواهیم داشت:

حل: اشکال کار در قسمت تقسیم می باشد. چون a=b پس a-b=0 و مخرج کسر برابر صفر است. و تقسیم بر صفر مبهم و نا مشخص است.

به طور کلی: برای انجام عمل تقسیم مخرج کسر باید مخالف صفر باشد.

مثال2:

با توجه به تساوی های زیر ثابت می کنیم 1-=1 می باشد.. اشکال کار در کجاست؟

a=-b	فرض می کنیم a و b دو عدد قرینه هم هستند.
a-a=-b-a	از دو طرف تساوی عدد a را کم کنید.
a+b=-b-a	در سمت چپ بجای (a-) عدد b را قرار دهید.
a+b=-(a+b)	در سمت راست از علامت منفی فاکتور بگیرید.
	دو طرف تساوی را بر a+b تقسیم کنید.
1-=1	حاصل را بدست آورید. خواهیم داشت:

حل: اشکال کار در عمل تقسیم می باشد. می دانیم برای انجام عمل تقسیم مخرج کسر باید مخالف صفر باشد. اما چون a و b قرینه هم هستند، پس a+b برابر صفر است و تقسیم بر صفر مبهم و نامشخص است.

تست:

1.در صورتی که بدانیم آنگاه حاصل چند است؟