مجموعه ی عدد های صحیح و گویا

.:: مجموعه اعداد صحیح و گویا ::.

الف: مجموعه عددهای صحیح

عدد صحیح:(integer)

صحیح به معنی تندرست، سالم و درست می باشد و هر یک از اعداد 0 , 1± , 2± , ... را یک عدد صحیح می نامیم. مجموعه ی اعداد صحیح را با حرف که از کلمه آلمانی Zahlen به معنی «عدد صحیح» گرفته شده است، نمایش می دهند. این مجموعه عبارت است از:

{ ... , 3+ , 2+ , 1+ , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} =

نمایش مجموعه عددهای صحیح:

برای معرفی یک مجموعه روشهای مختلفی وجود دارد. اگر اعضای مجموعه مشخص باشند، اعضای مجموعه را می نویسیم مانند: مجموعه کتابهای درسی سال سوم دوره راهنمایی تحصیلی گاهی اوقات لازم است به جای نوشتن اعضای یک مجموعه ، خاصیت اعضاء آن را بیان کنیم. به عنوان مثال فرض کنید معاون پرورشی یک مدرسه خطاب به دانش آموزان آن مدرسه می گوید:

دانش آموزانی که در نوبت اول معدل آن ها بیشتر از 18 باشد ، به اردوی علمی ، تفریحی در شهر اصفهان خواهند رفت. در این جا اعضای مجموعه فعلا مشخص نیستند ، بلکه ویژگی و خاصیت اعضای مجموعه که معدل بالای 18 می باشد در آینده ای نزدیک اعضای مجموعه رامشخص خواهد کرد.

اکنون مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- را در نظر بگیرید و به معرفی این مجموعه در حالتهای مختلف توجه کنید:

الف) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- روی محور اعداد صحیح:

ب) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- به زبان ریاضی:

ج) نمایش مجموعه اعداد صحیح بین 3+ و 3- با نوشتن اعضای آن مجموعه:

{ 2 , 1 , 0 , 1- , 2- }=A

مثال: مجموعه های زیر با علائم ریاضی بیان شده اند. آن ها را با اعضاء مشخص کنید:

الف):

حل: مجموعه A بیان می کند : « x بطوریکه x به اعداد صحیح تعلق دارد و مربع آن برابر عدد یک است.» . پس از خواندن این جمله باید اعدادی را که واجد این خاصیت هستند، پیدا کنیم. بدیهی است که عددهای صحیح 1+ و 1- این خاصیت را دارند بنابراین :

{ 1- و 1+} =A

ب):

حل: گاهی اوقات به جای به کاربردن متغیر ، عبارتی جبری شامل متغیر بکار می رود.

(2^x) نماینده اعضای این مجموعه است که بیان می کند x به اعداد طبیعی تعلق دارد. بنابراین:

{ ... و 16 و 8 و 4 و 2}=B

جمع عددهای صحیح:

الف) جمع با توجه به بردار:

مثال:جمع متناظر با بردار را بنویسید.

حل:

( عدد انتهای بردار) = (طول بردار)+ ( عدد ابتدای بردار)

( 1+ ) = ( 4+ ) + ( 3- )

ب) جمع بدون توجه به بردار: برای نوشتن حاصل جمعه به صورت زیر عمل می کنیم:

1. ابتدا تا حد امکان مختصر نویسی می کنیم.

2. اگر عددها هم علمت باشند، جمع می کنیم و اگر مختلف العلامت باشند، کم می کنیم.

3. علامت جواب بدست آمده را مشخص می کنیم.

مثال: 7=5-12=(5-)+(12+)

یادآوری: چنانچه بخواهیم از قرینه یابی استفاده کنیم به صورت زیر عمل می کنیم:

11-=(4+7)-=(4-)+(7-)

5-=(10-15)-=(10+)+(15-)

4-=(8-12)-=(12-)+(8+)

تفریق عددهای صحیح:

الف) تفریق با استفاده از بردار:

مثال: تفریق متناظر با بردار را بنویسید.

حل: (عدد ابتدای بردار) = ( طول بردار) - ( عدد انتهای بردار)

( 3- ) = ( 4+ ) - ( 1+ )

ب) تفریق اعداد صحیح بدون توجه به بردار:

برای تفریق کردن عدد b از عدد a ، می توانیم قرینه b را با a جمع کنیم: یعنی:

a-b = a+(-b)

مثال:

22=7+15=(7+)+(15+)=(7-)-(15+)

ب: مجموعه عددهای گویا

عدد گویا: (rational Number):

گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می باشد و در ریاضی هر عدد کسری مانند یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت مانند 2- , 0 , 3+ , 2/3- , 25/0 که به ترتیب به شکل کسرهای نوشته می شوند ، را یک عدد گویا می نامیم.

مجموعه عددهای گویا:

این مجموعه شامل تمام اعداد گویا است، این مجموعه را با حرف Q که حرف اول کلمه Quotient است، نمایش می دهند.

نمایش مجموعه عددهای گویا به زبان ریاضی به صورت زیر است:

نماد اعشاری اعداد گویا:

برای مشخص کردن نماد اعشاری اعداد گویا کافی است صورت را بر مخرج کسر تقسیم کنیم. با این تقسیم امکان ایجاد دو نوع عدد اعشاری در خارج قسمت وجود دارد:

1) عدد اعشاری مختوم

2) عدد اعشاری متناوب

مثال:

1- عدد اعشاری مختوم:

اگر در هنگام تقسیم صورت بر مخرج به باقیمانده صفر برسیم، عدد اعشاری ایجاد شده مختوم است. عدد اعشاری مختوم به صورت دهم ، صدم ، هزارم و ... بیان می شوند و خیلی ساده می توان آن ها را به صورت کسر تبدیل کرد مانند:

2- عدد اعشاری متناوب:

اگر در تقسیم صورت بر مخرج کسری به باقی مانده صفر نرسیم و مرتبا عددی در خارج قسمت تکرار شود، این عدد ، عدد اعشاری متناوب نام دارد.

اعداد اعشاری متناوب به صورت نوشته می شوند و بدین معنی است که رقم های زیر خط تیره در اعشار تکرار می شوند. مانند:

نکته1: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع شوند، عدد اعشاری متناوب ساده است و برای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد:

مثال:

نکته 2: اگر ارقام تکراری بلافاصله پس از ممیز شروع نشوند، عدد اعشاری متناوب مرکب است وبرای تبدیل آن به صورت کسر از فرمول زیر می توان استفاده کرد:

مثال:

نتیجه: اگر اعداد اعشاری مختوم یا متناوب باشند، قابل تبدیل به کسر هستند.

اعدادی مانند که در هنگام جذر گرفتن به باقیمانده صفر نمی رسند و جواب بدست آمده نه مختوم می شود و نه متناوب ، قابل تبدیل شدن به کسر نیستند و این بدان معنی است که گویا نمی باشند و غیر از اعداد گویا اعداد دیگری هم وجود دارد.

محور اعداد گویا:

عدد را بر روی محور مشخص کنید.

حل: برای این کار کافی است فاصله بین 3- تا 4- را به 5 قسمت مساوی تقسیم کنیم و 3 تا از آن را انتخاب کنیم.

تساوی کسرها و کسر علامت دار:

عدد را روی محور نشان داده و با هم مقایسه کنید.

چنانچه مشاهده می کنید دو عدد برابرند. یعنی بر روی محور این اعداد یک نقطه را مشخص می سازند. می دانیم به صورت زیر بدست آمده است:

(صورت و مخرج در عدد 2 ضرب شده است)

بنابراین می توان گفت: اگر صورت و مخرج کسر را در عدد غیرصفر n ضرب کنیم، کسر بدست می آید که با کسر اولیه برابر است.

گویا کردن یک کسر:

هر گاه مخرج یک کسر ، رادیکال داشته باشد، چنانچه عملی انجام دهیم تا رادیکال مخرج حذف شود، این عمل را گویا کردن کسر گویند.

1. اگر کسر به صورت باشد. (0<b) برای گویا کردن کسر، صورت و مخرج کسر را در ضرب می کنیم.

مثال:

2. اگر کسر به صورت باشد ، (0<a,b) صورت و مخرج را در ضرب می کنیم.

مثال:

نکته:

1. قاعده دور در دور و نزدیک در نزدیک در تقسیم به صورت مقابل می باشد.

2. حاصل ضرب هر عدد در وارون آن عدد مساوی یک می باشد.

مثال: اگر A و وارون یکدیگر باشند، مقدار A چقدر است؟

3. هر گاه اعداد گویا باشند، بین آن دو قرار دارد.

مثال: بین دو کسر ، پنج کسر دیگر بنویسید.

با توجه به این نکته می توان نوشت: و به همین ترتیب 5 کسر در بین این دو عدد مشخص می شود.

á بین دو عدد گویا چند عدد وجود دارد؟

4. عدد گویای را تحویل ناپذیر گویند هر گاه ب.م.م a و b مساوی یک باشد.

مثال: . اگر کسر قابل ساده شدن باشد، عدد گویای را تحویل پذیر می نامند ؛ مانند .

5. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) فقط عامل های 2 و 5 باشد ، آن کسر به عدد اعشاری مختوم تبدیل می شود.

مثال:

6. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) عامل های 2 و 5 وجود نداشته باشد، آن کسر به عدد اعشاری متناوب ساده تبدیل می شود.

مثال:

7. اگر در تجزیه مخرج یک عدد گویای تحویل ناپذیر (ساده نشدنی) ، علاوه بر عامل های 2 و 5 عاملهای اول دیگری نیز مانند 3 ، 7 ، 11 ، ... وجود داشته باشد، آن کسر به عدد اعشاری متناوب مرکب تبدیل می شود.

مثال: