عدد صحیح ، اصل ضرب،درصد و تناسب

عدد صحیح: (integer) صحیح به معنی تندرست ، سالم و درست می باشد و هر یک از اعداد 0 , 1 ± , 2 ± , ...

را یک عدد صحیح می نامیم .

مجموعه عدد های صحیح: مجموعه ای است شامل تمام عدد های صحیح این مجموعه را با حرف Z که از کلمه آلمانی zahlen به معنی عدد صحیح گرفته شده است ، نمایش می دهند .                                                                                   

نکته:

1- ترتیب عملیات :

در عبارتهای که از پرانتز ، توان ، ضرب و تقسیم ، جمع و تفریق استفاده شده است ، ترتیب عملیات در محاسبه ی عبارت عددی به ترتیب زیر است :

الف) کروشه یا پرانتز (حاصل آن را از داخلی ترین پرانتز بدست می آوریم .)

ب) توان

ج) ضرب و تقسیم (از چپ به راست عمل مربوطه را محاسبه کنید)

د) جمع و تفریق (از چپ به راست عمل مربوطه را محاسبه کنید)

:مثال حاصل عبارت مقابل را بدست آورید . 

 = 11 ÷ (3+(5²-6)) 4 + 7

حل :         15= 8+7 و 8= 11 ÷ 88  و 88 = 4 × 22  و 22 = 3+19  و 19 = 6-25 = 6-5²

2- اصل ضرب :

 اگر عملی به a طریق و عمل دیگری به b طریق و.... انجام پذیر باشند ، همه این اعمال با هم به a×b×…. طریق امکان پذیر است این موضوع اصل ضرب نامیده می شود .

:مثال برای رفتن از شهر A به شهر B سه راه وجود دارد . از شهر B به شهر C نیز 2 مسیر مختلف وجود دارد حساب کنید برای رفتن از شهر A به شهر C چند مسیر وجود دارد ؟

حل: 6=2×3

:مثال زهرا نقاشی مقابل را کشیده است  او می خواهد شلوار پسرک را سبز ، قرمز ، آبی  یا بنفش و پیراهن او را سبز ، زرد ، یا قرمز رنگ کند او به چند صورت می تواند این نقاشی را رنگ کند ؟                                     12=4×3

3- محاسبه ی مجموع اعداد :

 گاوس یکی از ریاضی دانان نامی است که برای محاسبه ی مجموع اعداد یک دنباله روش جالب توجهی ارائه داده است .

می خواهیم اعداد 1 تا n را با هم جمع کنیم ، برای این منظور با توجه به شکل داریم

 

برای محاسبه ی مجموع اعداد یک تا n  کافی است تعداد n + 1  ها را بشماریم .

به طور کلی برای محاسبه ی مجموع اعداد با اختلاف یکسا ن از رابطه ی زیر استفاده می کنیم 

 

:مثال مجموع اعداد طبیعی از 1 تا 100 را محاسبه کنید.      

:مثال حاصل عبارت مقابل را بدست آورید .           ? = 100 – 98 + .... + 5 – 3 +4 – 2 + 3 – 1

                                               

×نکته:  چنانچه اعداد با فاصله ی یکسان (d) باشند برای بدست آوردن تعداد اعداد متوالی از n تا m     می توان از دستور مقابل استفاده کرد :

 

:مثال  حاصل عبارت مقابل را بدست آورید .

                                              

×نکته: به تساوی های زیر برای بدست آوردن مجموع جملات یک دنباله ی عدد ی توجه کنید .

 

4- تعدادمقسوم علیه ها :

اگر عدد A را به عوامل اول تجزیه کنیم ، تعداد مقسوم علیه های خود  عدد A از فرمول زیر بدست می آید :

          

:مثال  تعداد مقسوم علیه های عدد 72 را بدست آورید.

 

×نکته: مجموع مقسوم علیه های عدد A از فرمول زیر بدست می آید :

 

:مثال   مجموع مقسوم علیه های عدد 72 را حساب کنید .

 

5- یک نفر کاری را در a ساعت انجام می دهد ، نفر دوم همان کار را در b ساعت انجام می دهد . اگر هر دو با هم انجام دهند ، آن کار در ساعت انجام می شود .

:مثال علی کاری را در 6 ساعت انجام می دهد حسن همان کار را در 4 ساعت انجام می دهد . اگر هر دو با هم کار کنند ، آن کار در چند ساعت تمام می شود ؟

 2 ساعت و 24 دقیقه                                      

×نکته: اگر شخصی کاری را در a روز و نفر دیگر در b روز و نفر سوم  در c روز انجام دهند ، سه نفر با هم در روز انجام می دهند.

6- محاسبه تخفیف :

 اگر فروشنده ای دو تخفیف متوالی m% و n%  برای کالایی در نظر بگیرد برای اینکه بدانیم چند درصد بهای اولیه کالا تخفیف داده است ،  از رابطه ی زیر استفاده می کنیم :

:مثال  فروشنده ای در ابتدا برای کالایی%20 تخفییف داده است و پس از گذشت مدتی به منظور فروش بیشتر برروی قیمت کالا%10 تخفیف دیگر (برای قیمت جدید) در نظر گرفته است. حساب کنید تخفیف های متوالی%20 و%10 معادل با چه تخفیفی از قیمت اولیه کالا هستند؟

حل : روش 1 فرض کنیم قیمت اولیه کالا 100 تومان بوده است در این صورت:

به طور کلی این فروشنده %28 تخفیف داده است .

حل : روش 2:

7- محاسبه ی درصد :

اگر m لیتر اسید %n را به روی p لیتر اسید %q بریزیم ، درصد اسید حاصل از دستور زیر بدست می آید .

                                                                                                               

:مثال  اگر 20 لیتر اسید %90 را بروی 30 لیتر اسید %80 بریزیم ، در صد اسید حاصل را حساب کنید .

حل :

                                        

بنابراین: 50 لیتر اسید %84 خواهیم داشت.

:تست

1_حاصل عبارت مقابل را بدست آورید . 

   = (7-4) 3² – ¹⁷(7-6) 2-

د) 23-

ج) 25-

ب)29

الف) 21

2_با ارقام 1،2،3،4،5 چند عدد سه رقمی بدون تکرار ارقام می توان نوشت ؟

د) 60

ج) 100

ب) 81

الف) 25

3_حاصل عبارت مقابل کدام است ؟                                                          ? = 144 + ..... + 16 + 12 + 8 + 4

د) 2680

ج) 2674

ب) 2654

الف) 2664

4_تعداد کل مقسوم علیه های عدد 1380 چند تا است ؟

د) 23

ج) 32

ب) 42

الف) 24

5_یک کارگر کاری را در 8 ساعت و کارگر دیگر همان کار را در 12 ساعت انجام می دهد اگر هر دو با هم کار کنند ، این کار در چند ساعت تمام می شود؟

د ) 4/5

ج) 5

ب) 8/4

الف) 5/4

6_کالایی را با دو تخفیف متوالی%10 و % 15 خریده ایم . مجموعاً چند درصد تخفیف گرفته ایم ؟

د) % 5/23

ج) % 24

ب) % 5/24

الف) % 25

7_کتابی را با %15 تخفیف 340 تومان خریده ایم. اگر آنرا با %20 تخفیف می خریدیم ، چند تومان می پرداختیم؟

د)330

ج) 320

ب) 310

الف) 300

8_ اگر 100 لیتر الکل % 72 را با 140 لیتر الکل % 96 مخلوط کنیم ، درصد الکل حاصل چقدر خواهد شد ؟

د) % 86

ج) % 85

ب) % 84

الف) % 81